Biên dịch: Ngô Minh Tuấn

“Một cái đập cánh của con bướm ở nam Phi cũng đủ gây nên giông bão ở Florida”

Fractal là gì?

Trước khi có máy vi tính, Fractal đã từng hai lần được nêu lên như một vấn đề quan trọng. Lần đầu tiên là khi những người làm bản đồ Anh phát hiện thấy rắc rối với việc đo đạc chiều dài đường bờ biển Anh. Trên một bản đồ thu nhỏ, đường bờ biển đó đo được là 5000 gì đó. Xin lỗi, tôi quên mất đơn vị. Nhưng thật là lộn xộn, khi đo đạc bờ biển đó trên những bản đồ phóng to hơn, nó lại dài hơn, là 8000. Và khi nhìn vào những bản đồ thực sự chi tiết, đường bờ biển lại vượt quá gấp đôi so với ban đầu. Bạn thấy rằng, đường bờ biển Anh trên một tấm bản đồ thế giới không có một vịnh hay bến cảng nào. Một bản đồ như vậy của Anh thì lại có nhiều những chi tiết đó hơn, nhưng không có vịnh và các eo biển nhỏ. Càng nhìn vào gần hơn, đường bờ biển lại càng chi tiết và dài hơn. Rất ít người biết được rằng đây là một tính chất của các Fractal. (một vùng hữu hạn lại được bao quanh bởi một đường vô hạn)

Trường hợp thứ hai về những fractal trước khi có máy vi tính được ghi lại bởi nhà toán học Pháp Gaston Julia. Ông thắc mắc rằng một hàm đa thức toán học phức tạp nhìn sẽ giống cái gì, chẳng hạn như một hàm sau được đặt theo tên ông (dưới dạng z^2 + c, trong đó c là một hằng số phức tạp liên hệ giữa số thực và số ảo). Ý niệm đằng sau công thức là khi bạn lấy tọa độ x, y của một điểm, và kết hợp chúng thành z dưới dạng x = y*I, trong đó i là căn bậc hai của một số âm, bình phương số này, và khi đó cộng thêm c, là một hằng số. Sau đó kết hợp cặp kết quả của số thực và ảo trở lại thành z, thực hiện phương trình lại một lần nữa, và tiếp tục làm như vậy cho đến khi kết quả lớn hơn một vài số. Số lần bạn thực hiện phương trình để thu được “quỹ đạo” của nó có thể được đánh dấu bởi một màu và khi đó ảnh điểm (x,y) nhận màu đó, trừ phi những tọa độ này không thể để lộ ra được quỹ đạo của chúng, trong trường hợp đó chúng có màu đen.

Sau đó, Benoit Mandelbrot, một nhân viên của IBM, đã nghĩ đến việc viết ra một chương trình cho một công thức chẳng hạn, oh… có thể là Z*(n)^2 + c, và sau đó thực hiện nó trên một trong rất nhiều máy tính của IBM. Và chúng rốt cuộc tạo nên một vài hình khá đẹp. Mandelbrot là người đầu tiên dùng máy vi tính để thực hiện những con tính lập đi lập lại nhiều lần tạo ra một fractal nhìn rất đẹp. Và giờ đây bạn sẽ được biết đến khía cạnh toán học của fractal.

Khái niệm cơ bản của fractal là chúng chứa đựng một mức độ tự tương đồng rất cao. Điều này có nghĩa là chúng thường gồm những bản sao chép nhỏ của bản thân chúng bị ẩn giấu sâu trong nguyên mẫu. Và còn có cả những chi tiết vô hạn. Giống như vấn đề costal, bạn càng phóng to một fractal, bạn càng nhận được chi tiết hơn. Và điều này sẽ diễn ra mãi mãi, vì vậy bạn có thể làm được một đoạn phim thù vị về việc phóng to một fractal.

Chiều Fractal

Một trong những điều độc nhất vô nhị về các fractal là chúng có số chiều phi nguyên. Tức là, trong khi bạn đang ở trong ba chiều, nhìn trong một màn hình phẳng được xem như nhiều hoặc ít hơn hai chiều, các fractal nằm giữa các chiều đó. Fractal có thể có số chiều là 1,8 hoặc 2,4. Mặc dù fractal có lẽ không có số chiều nguyên, chúng sẽ luôn có số chiều nhỏ hơn số chiều của cái mà chúng đang ở trong. Nếu bạn tạo ra một fractal bằng cách vẽ các đường tuân theo một quy luật xác định, chẳng hạn như đường cong Koch, thì fractal không thể có số chiều cao hơn số chiều của tờ giấy mà bạn vẽ chúng lên, số chiều tờ giấy sẽ là 2 (thừa nhận rằng tờ giấy đó đủ tốt để có thể coi là hai chiều).

Vậy làm cách nào có thể tính được chính xác số chiều của một fractal là bao nhiêu? Điều này đòi hỏi phải khéo léo, đó là lý do tại sao tôi phải mất thật lâu để viết trang này. Trước hết, bạn phải nhận thấy rằng trong toán học, số chiều có nghĩa là một cái gì đó nhiều hơn chỉ là một điểm, hoặc một mặt phẳng, hoặc nếu nó có chiều dài, chiều rộng, và chiều cao.

Với logarit thì sẽ đơn giản hơn. (Không phải là một phép nghịch hợp) Nếu, chẳng hạn, bạn lấy một hình lập phương và nhân số cạnh của nó với 2, khi đó bạn có thể lắp khít 8 khối lập phương cũ vào khối lập phương mới. Lấy gấp đôi thêm nữa, bạn có thể thấy rằng log8/log2 = 3. (Tôi đã lược bỏ đi toán học dẫn đến phương trình đơn giản này). Vì vậy, một khối lập phương có số chiều là 3, cái đó chúng ta đều đã biết. Tám cũng là 2 mũ ba lần. Đó không chỉ đơn giản là một sự trùng hợp.

Có thể thừa nhận rằng đối với bất kỳ một vật thể fractal nào (kích cỡ P, được lắp ghép từ những đơn vị nhỏ hơn kích cỡ p), số đơn vị (N) lắp vừa vặn vào vật lớn hơn là bằng với kích cỡ tỷ lệ (P/p) tăng lên với số mũ d, gọi là chiều Hausdorff.

N = (P/p)d hoặc d = logN/log(P/p)

Hãy thử những gì vừa nói với đường cong Kuch. (H.1)Sử dụng chỉ những đoạn dài 3cm (P), bạn làm một đường cong Kuch đơn giản, là một Ngôi sao của David. 12 đoạn, 3cm một đoạn. Nếu bạn lấy nâng lên một nấc nữa dùng những đoạn dài 1cm (p), bạn sử dụng 48 đoạn. Bằng cách cắt bớt chiều dài của các đoạn đi còn một phần ba (P=3, P=1), với một phép tính toán, chúng ta thấy rằng đường cong Kuch có chiều là 1, 2618595071429. Thật đáng ngạc nhiên nhưng lại là sự thật.

Sử dụng Fractals

Như đã được nói đến ở trên, tự nhiên tràn ngập những chất liệu tương tự fractal. Những nhánh con trên cây nhìn giống các cành trên đó chúng mọc ra, những cành này nhìn như thể là cây của chúng vậy. Lá cây dương xỉ cũng vậy, và nhiều vật sống khác nữa. Nhớ lại cảnh những nghệ sĩ vẽ bằng cách nhúng ướt và rê nét vẽ lên một bức sơn dầu? Mặc dù trông thì thấy hỗn độn, những nét vẽ của anh ta, đặc biệt là những nét về sau, nhìn lại rất đẹp. Lý do nét vẽ của anh ta “nhìn đẹp” là vì chiều fractal của chúng gần với chiều fractal của tự nhiên, đặc biệt là trong những nét vẽ về sau. Vì vậy, khi chúng ta nhìn những nét vẽ đó, chúng ta thấy chúng tự nhiên.

Dù sao, tự tương đồng là một phần của thế giới, do vậy fractal có thể tạo nên những phiên bản rất thú vị của chính nó. Các họa sĩ đã tạo ra cảnh vật nhìn rất giống thật gồm chỉ một vài phương trình fractal. Sử dụng Fractint tôi tạo ra những nhọn núi nhìn không tệ và thậm chí là cả một mặt trăng, nhìn nó giống một trong những mặt trăng của Mộc tinh.(H.2)

Fractal cũng có những ứng dụng công nghệ. Anten luôn là một vật tinh tế. Nhiều kỹ sư anten đã giảm sử dụng phương pháp thử sai do bởi bản chất phức tạp của điện từ học. Những khung thường bằng kim loại dài, dầy không phải là cách tốt nhất. Mạng anten, một phương pháp khác, gồm hàng ngàn anten nhỏ được phân bố ngẫu nhiên hoặc cách đều nhau trong không gian. Fractal cung cấp một sự hòa nhập hoàn hảo giữa ngẫu nhiên và trật tự, và với những thành phần ít hơn. Những phần của fractal là mất trật tự, trong khi đó fractal tổng thể lại đem lại sự trật tự. Bằng cách uốn cong các dây kim loại thành hình đường cong Kuch, nhiều dây hơn có thể vừa khít với không gian ít hơn, và hình góc cạnh cũng phát ra điện dung và độ tự cảm. Nó loại bỏ nhu cầu cần những thành phần ngoại lai để điều chỉnh anten hoặc để mở rộng dải tần số của anten. Motorola đã bắt đầu sử dụng anten fractal trong rất nhiều loại điện thoại có các ngăn nhỏ, và báo cáo rằng chúng hiệu quả hơn những điện thoại sử các mẩu dây cuốn truyền thống. Sản xuất chúng cũng rẻ hơn, có thể hoạt động trên một dải tần số rộng, và có thể được lắp đặt vào trong máy điện thoại. Tập san fractal đã chỉ ra tại sao fractal hoạt động tốt với vai trò là anten. Đối với một anten để hoạt động tương đối tốt tại tất cả các tần số, nó phải đối xứng quanh một điểm và nó phải tự tương đồng, cả hai đặc điểm này fractal đều có.