Keith Devlin, Thứ năm 26/04/2001

Biên dịch: Ngô Minh Tuấn


Thứ bảy tới (tức 28/04/2001-ND) đánh dấu ngày sinh nhật của nhà toán học Kurt Gödel. Sinh ở nơi mà sau này là nước Áo, vào 28/04/1906, Gödel mất ở Princeton, New Jersey vào 14 tháng giêng 1978, mang tâm trạng đa nghi rằng mình bị đầu độc và, do vậy, đã nhịn đói cho đến chết (một kết cục thật kỳ lạ đối với một trong những nhà logic vĩ đại nhất trên thế giới).

Hai năm trước, khi tạp chí Time tổ chức một cuộc bình bầu xác định 20 tư tưởng gia có ảnh hưởng nhất của thế kỷ XX, Gödel là một trong hai nhà toán học trong số 20 người. Ông đứng thứ 9, sau nhà thiên văn học Edwin Hubble, nhà vật lý Enrico Fermi, triết gia và là nhà kinh tế học John Maynard Keynes, người phát minh ra transistor William Shockley, hai nhà hóa sinh James Watson và Francis Crick người đã phát hiện ra mẫu hình chuỗi xắn kép của DNA, người phát triển thuốc kháng sinh chống vi khuẩn Jonas Salk, và người tạo ta world wide web Tim Berners-Lee. (Albert Einstein đứng cuối cùng.)

Gödel được biết đến nhiều nhất là qua phát hiện của ông vào năm 1931 về định lý bất toàn Gödel. Dưới dạng ngôn ngữ đời thường, nó nói rằng cho dù bạn cố gắng đến thế nào chăng nữa, bạn cũng sẽ không bao giờ có thể quy mọi cái liên quan đến toán học thành sự ứng dụng của những quy luật cố hữu. Không cần biết là có bao nhiêu quy luật và thủ tục mà bạn mô tả, sẽ luôn có một số sự kiện thực mà bạn không thể chứng minh được.

Một số nhà khoa học, nhất là nhà toán học học và vật lý học ở Oxford Ngài Roger Penrose, đã sử dụng định lý bất toàn của Gödel để lập luận rằng bộ não của con người không hoạt động giống một chiếc máy tính, và cụ thể là trí thông minh nhân tạo là không thể đạt được. Theo như những gì Penrose giải thích định lý của Gödel, toán học có một cơ sở hoàn toàn sáng tạo.

Sự tóm tắt định lý bất toàn ở trên, tôi dám nói, có một chút không đầy đủ. Đây là những gì mà Gödel thực sự làm.

Do bởi toán học giải quyết những vấn đề trừu tượng, bạn không thể xác minh những sự kiện toán học bằng cách thực hiện các quan sát hoặc trình diễn những thí nghiệm giống như các nhà khoa học khác vẫn thường làm. Bạn phải sử dụng phương pháp – những lý lẽ có logic. Những lý lẽ đó phải bắt đầu ở tại đâu đó. Vì vậy, bạn bắt đầu bằng cách viết ra một số những giả định trong một tập hợp lúc ban đầu, tức là các tiên đề.

Những tiên đề này phải đơn giản đến nỗi sự đúng đắn của chúng là không có gì phải bàn cãi. Những thứ như, hai đường thẳng hoặc song song hoặc gặp nhau tại đúng một điểm, hoặc khi bạn cộng hai số lại với nhau thì không quan trọng thứ tự trước sau. (Ví dụ đầu trong hai ví dụ trên thực ra là không “đúng tuyệt đối” như thoạt tiên tưởng chừng, nhưng đó là vấn đề khác.)

Một khi bạn đã có được những tiên đề, để quyết định được xem liệu lời tuyên bố nào đó là đúng hay sai, bạn cần phải chứng minh dựa trên những tiên đề đó.

Cách thực hiện toán học này được đưa ra bởi những người Hy Lạp cổ đại cách đây 2500, và vẫn làm việc tốt trong suốt lịch sử. Nó luôn thừa nhận rằng điều duy nhất có thể khiến cho bạn không có khả năng xác định được sự đúng sai của bất kỳ bài toán nào nêu ra là khi bạn bỏ sót một hoặc nhiều hơn một giả định cơ bản không đưa ra vào danh sách những tiên đề. Và lúc đó cũng dễ sửa: chỉ cần thêm tiên đề bị bỏ sót đó vào.

Gödel đã làm tan vỡ niềm tin này, và thay đổi vĩnh viễn sự hiểu biết của chúng ta về toán học. Định lý bất toàn của ông nói rằng bạn không bao giờ có thể tìm được đủ các tiên đề. Bạn có cẩn thận đến thế nào để cố gắng đảm bảo rằng bạn đã lập ra tất cả những giả định cơ bản, thì vẫn luôn có một số bài toán mà bạn không thể giải được. Tri thức toán học đã được định liệu sẵn phải duy trì mãi mãi sự không đầy đủ.

Thực tế, tình hình còn tệ hơn nữa. Gödel tiếp tục chỉ ra rằng một trong những bài toán bạn không thể giải được cho dù bạn có chọn được hệ tiên đề phù hợp hay không. Bạn không bao giờ có thể chắc rằng, trong khi lập những tiên đề của bạn, bạn không phạm sai lầm và đưa vào một số mâu thuẫn tinh vi.

Trước khi có kết quả của Gödel, mọi người thừa nhận rằng, không giống như những khoa học khác, toán học cung cấp sự chắc chắn tuyệt đối, và nó là con đường để đi đến tri thức hoàn hảo và xác thực. Đối với một số phạm vi, điều đó là đúng. Định lý Pitago về tam giác ngày nay vẫn đúng như nó được chứng mình lần đầu tiên từ 3000 năm về trước, và nó sẽ mãi mãi đúng. Một khi một nhà toán học đã chứng minh được cái gì đó, thì sự đúng đắn của nó sẽ là vĩnh cửu. (không giống như trường hợp của các khoa học khác, trong đó những lý thuyết luôn luôn bị sửa đổi hoặc thậm chí sụp đổ.) Tuy nhiên, những gì Gödel phát hiện ra là sự chắc chắn kiểu này không mở rộng ra cho mọi vấn đề toán học. Một số vượt ra khỏi phương pháp này. Nếu bạn cho rằng một lời tuyên bố như vậy là đúng, bạn chỉ phải đơn giản coi nó là một hành vi tin tưởng.

Như vậy, phát hiện của Gödel có thể được coi như là dấu chấm hết cho sự ngây thư trong toán học.